金融经济学 | 第8讲：期望效用理论（Ⅰ）

乐观心态

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<hr/>1. 从CAPM到一般均衡定价

作为一个经典的资产定价模型，CAPM存在两个主要不足：
①偏好上的不足：均值-方差的偏好不是完备的。均值-方差理论无法回答当一个资产回报和方差都大，另一个资产回报和方差都小时的资产好坏问题。并且，仅使用回报率的均值和方差来做判断，丢失了更高阶矩的信息。
②CAPM是一个部分均衡的静态模型。所谓静态，是指它只考虑1期的优化问题——投资者只在今天做投资的决策。因此，CAPM无法用来分析投资决策在多期内连续做出，且不同期决策之间相互影响的动态情形。而部分均衡则是说，CAPM只考虑资产市场这一个市场的均衡，而完全不考虑资产市场怎样与宏观经济的其他部分联动。
为了从CAPM模型拓展到一般均衡定价模型，首先就是要改进对投资者偏好的假设，构建人在风险下决策的理论体系——从均值-方差偏好体系转变成期望效用理论体系。
<hr/>2. 风险状况下的选择理论——期望效用

2.1 圣彼得堡悖论

圣彼得堡悖论（St. Petersburg Paradox）显示了不确定性结果的数学期望绝不是人在风险下决策的唯一考虑因素。
圣彼得堡悖论提出的问题是：
①抛一个公平的硬币（正面与反面出现的概率各为1/2）；
②连续抛掷硬币，直到第一次抛出正面后赌局结束；
③如果第n次才第一次抛出正面，参与者可以得到的奖励是2^{n-1}元钱；
④这一赌局给参与者带来的期望收益是无穷大，但甚至很难找到愿意掏10元钱来参加这一赌局的人。（因为无穷大期望收益中的绝大部分来自于极小概率的发生。）
期望收益=\frac{1}{2}\times 1+(\frac{1}{2})^2\times 2+(\frac{1}{2})^3\times 4+\cdots+(\frac{1}{2})^n\times 2^{n-1}= \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n\times 2^{n-1}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^{n-1}\times 2^{n-1}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^n 1^{n-1}=\infty \\
对圣彼得堡悖论的解释：效用并不随着收益的增加而线性增加，存在边际效用递减。
假设人们的效用是对数效用，那么人们只愿意掏2元钱参加这一赌局。
期望效用=\frac{1}{2}\times {\rm ln 1}+(\frac{1}{2})^2\times {\rm ln 2}+(\frac{1}{2})^3\times {\rm ln 4}+\cdots+(\frac{1}{2})^n\times {\rm ln 2^{n-1}}={\rm ln 2} \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n\times (n-1)={\rm ln 2} \\
<hr/>2.2 偏好与效用

我们用X表示人所有可能选择的商品束组成的集合，假设商品束的维度为M，则X\subset R_{+}^M。
理性（rational）偏好：当偏好关系\succeq满足以下两个条件时，我们称其为理性偏好：
①完备性（completeness）：对任意x,y\in X，x\succeq y与y\succeq x至少有一个成立。
②传递性（transitivity）：对任意x,y,z\in X，如果有x\succeq y与y\succeq z，则必有x\succeq z成立。
完备性说的是对任意两种选择，人都能做比较。传递性说的则是如果甲不比乙差，乙又不比丙差，那么甲就一定不比丙差。理性的偏好如果还满足连续性，那么我们就可以用一个连续的效用函数来描述人的偏好。下面先给出连续性的严格定义。
连续性（continuity）：一种偏好关系\succeq如果在极限下也能保留，就被称为连续的。具体来说，如果对一系列\{(x^n,y^n)\}_{n=1}^{\infty}有x^n\succeq y^n（\forall n），那么对x=\underset{n\to \infty}{\rm lim}x^n与y=\underset{n\to \infty}{\rm lim}y^n，必有x\succeq y。
满足理性与连续性的偏好，必然可以用一个连续的效用函数来表示。也就是说，可以构造一个函数u(\cdot)，使得当x\succeq y时，必然有u(x)>u(y)。
<hr/>2.3 期望效用理论

在确定情况下，人在不同的商品束之间做选择；但在不确定情况下，人最终会得到哪一种商品束是随机的。我们假设有N种可能的结果，每种结果都是人可能得到的一个商品束，这样，人所面临的各种状况就以各种可能结果出现的概率来刻画。我们以彩票（lottery）的概念来做具体描述。
简单彩票（simple lottery）：一张简单彩票L为一串数字L=(p_1,\cdots,p_N)。其中，p_n为第n种结果出现的概率。对于所有的n，有p_n\ge 0，且\sum_n p_n=1。
复合彩票（compound lottery）：如果有K张简单彩票L_k=(p_1^k,\cdots,p_N^k)，k=1,\cdots,K，以及概率\alpha_k\ge 0（\sum_k \alpha_k=1），复合彩票(L_1,\cdots,L_K;\alpha_1,\cdots,\alpha_K)以\alpha_k为概率产生结果L_k。
复合彩票就是把简单彩票以一定的概率再次组合起来，可以被化为简单彩票(\sum_k \alpha_kp_1^k,\cdots,\sum_k \alpha_kp_N^k)。
由于复合彩票可以被化为简单彩票，所以我们就把简单彩票作为人在不确定状况下面临的可选对象，并把所有可选的简单彩票所组成的集合叫做彩票空间（space of lotteries），标记为\mathscr{L}。
现在我们已经对不确定状况下人的选择对象进行了模型化。下面我们需要描述人在彩票空间中的偏好。
我们已经知道，在满足理性、连续性这两个条件之后，人在彩票空间中的偏好可以用一个效用函数来表达，但是这个效用函数的具体形式仍然是未知的。为了给效用函数施加更多的限制，我们还需要对偏好提出更强的要求：独立性公理。
独立性公理（independence axiom）：如果对任意3张彩票A、B和C和任意0到1之间的数\alpha，以下条件总是成立
A\succeq B \Leftrightarrow \alpha A+(1-\alpha)C \succeq \alpha B+(1-\alpha)C \\
则我们称对彩票的偏好关系满足独立性公理。
独立性公理说的是，将两张彩票与第三只彩票混合后，并不影响原来两张彩票的偏好顺序。而冯·诺伊曼与摩根斯坦证明了，如果在理性与连续性之外，再加上独立性公理，那么这个效用函数就有期望效用这种特殊函数形式。
期望效用定理：如果定义在彩票空间\mathscr{L}上的偏好是理性和连续的，并且满足独立性公理，那么这样的偏好可用期望效用函数的形式表述出来。也就是说，我们可以为每种结果n=1,\cdots,N指定一个效用值u_n，使得对任意两个彩票L=(p_1,\cdots,p_N)与L^{\prime}=(p_1^{\prime},\cdots,p_N^{\prime})来说，必然有
L\succeq L^{\prime} \Leftrightarrow \sum_{n=1}^N p_n u_n \ge \sum_{n=1}^N p_n^{\prime} u_n \\
期望效用定理意味着，满足理性、连续性、以及独立性公理的偏好可以表示为期望效用函数的形式（冯诺伊曼-摩根斯坦效用函数或简称vNM效用函数）。
U(L)=\sum_{n=1}^N p_n u(x_n) \\
<hr/>2.4 阿莱斯悖论

期望效用这种特殊的函数形式来自独立性公理。而对独立性公理最著名的反驳是阿莱斯于1953年提出来的阿莱斯悖论（Allais Paradox）。
阿莱斯悖论：
①考虑下面三种可能的结果：第一，获得250万元；第二，获得50万元；第三，获得0块钱。
②下面两张彩票中人们一般会认为L_1优于L_1^{\prime}：
L_1=(0,1,0)\qquad ;L_1^{\prime}=(0.10,0.89,0.01) \\
L_1表示确定地获得50万元。L_1^{\prime}表示以10%的概率获得250万元，89%的概率获得50万元，1%的概率什么也没有。人们一般会认为L_1优于L_1^{\prime}。因为L_1^{\prime}虽然多了10%的概率获得250万，但那1%的概率什么也没有太吓人了。
③下面两张彩票中人们一般会认为L_2^{\prime}优于L_2：
L_2=(0,0.11,0.89)\qquad L_2^{\prime}=(0.10,0,0.90) \\
L_2表示以11%的概率获得50万，89%的概率什么也没有。L_2^{\prime}表示以10%的概率得到250万，90%的概率什么也没有。人一般会认为L_2^{\prime}优于L_2。因为这两张彩票反正都以大概率什么也没有（89%与90%的概率看上去没太大差别），还不如搏一把大的，看看能不能得到250万。
但是以上的选择结果违反了独立性公理。由于独立性公理（加上理性与连续性后）等价于期望效用函数，我们可以用期望效用函数很简便地来验证。
由第一组选择我们知道
u_{50}>0.10\times u_{250}+0.89\times u_{50}+0.01\times u_0 \\
上式两边加上0.89\times u_{0}-0.89\times u_{50}，可得
0.11\times u_{50}+0.89\times u_0>0.10\times u_{250}+0.90\times u_0 \\
这表明人应该认为L_2优于L_2^{\prime}，出现矛盾。
虽然阿莱斯悖论表明独立性公理有可能不成立，但是从简便性上来说，新的理论都还没有超过期望效用理论，所以目前期望效用仍然是研究不确定性下人的行为的工具。
<hr/>参考文献：《金融经济学二十五讲》. 徐高. 中国人民大学出版社. 2018-7